KAKO BROJEVE STRANICA U OPENOFFICE

Sposobnost rješavanja sistema jednadžbi često može biti korisna ne samo u školi, već iu praksi. U isto vrijeme, ne zna se svaki korisnik računala da Excel ima vlastita rješenja za linearne jednadžbe. Hajde da otkrijemo kako se ovaj tablični procesorski alat koristi na različite načine.

Rešenja

Svaka jednadžba može se smatrati riješenom tek kada se pronađu njeni korijeni. U Excelu postoji nekoliko opcija za pronalaženje korena. Pogledajmo svaki od njih.

Metoda 1: Matrična metoda

Najčešći način rješavanja sustava linearnih jednadžbi s alatima programa Excel je korištenje metode matrice. Ona se sastoji u izgradnji matrice iz koeficijenata izraza, a zatim u stvaranju inverzne matrice. Pokušajmo koristiti ovu metodu za rješavanje sljedećeg sustava jednadžbi:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Popunjavamo matricu brojevima koji su koeficijenti jednačine. Ovi brojevi bi trebali biti poredani redom, uzimajući u obzir lokaciju svakog korijena kojem odgovaraju. Ako u nekom izrazu nedostaje jedan od korijena, tada se u ovom slučaju smatra da je koeficijent jednak nuli. Ako koeficijent nije naveden u jednadžbi, ali je odgovarajući koren prisutan, smatra se da je koeficijent jednak 1. Rezultirajuću tabelu označavamo kao vektor A.

Odvojeno, upisujemo vrijednosti nakon znaka jednakosti. Označavamo ih zajedničkim imenom kao vektor B.

Sada, da bismo pronašli korene jednačine, prvo moramo da pronađemo matricu, inverznu postojeću. Srećom, u Excelu postoji specijalni operater koji je dizajniran da reši ovaj problem. Zove se MOBR. Ima prilično jednostavnu sintaksu:
= MBR (niz)
Argument "Array" - ovo je, u stvari, adresa izvorne tabele.
Dakle, na listu označavamo područje praznih ćelija, koje je jednako veličinu rasponu originalne matrice. Kliknite na dugme "Umetni funkciju"nalazi se u blizini formule.

Trčanje Funkcioneri. Idi u kategoriju "Matematički". U listi tražimo ime "MOBR". Nakon što je pronađena, odaberite je i kliknite na gumb. "OK".

Počinje prozor argumenta funkcije. MOBR. Ima samo jedno polje po broju argumenata - "Array". Ovdje trebate navesti adresu naše tablice. U tu svrhu postavite kursor u ovo polje. Zatim držimo pritisnut lijevi gumb miša i odabiremo područje na listu u kojem se nalazi matrica. Kao što vidite, podaci o koordinatama lokacije se automatski unose u prozor. Po završetku ovog zadatka, najočiglednije bi bilo da kliknete na dugme. "OK"ali ne žurite. Činjenica je da je klik na ovo dugme ekvivalentan upotrebi komande Enter. Ali kada radite sa nizovima nakon dovršetka unosa formule, nemojte kliknuti na dugme. Enteri proizvode set prečica Ctrl + Shift + Enter. Izvedite ovu operaciju.

Dakle, nakon toga, program izvodi kalkulacije i na izlazu u unaprijed odabranom području imamo inverznu matricu.

Sada ćemo morati pomnožiti inverznu matricu sa matricom. Bkoji se sastoji od jedne kolone vrijednosti koja se nalazi iza znaka jednak u izrazima. Za množenje tablica u Excelu također postoji zasebna funkcija, koja se naziva Mama. Ova naredba ima sljedeću sintaksu:
= MUMNOGUE (Array1; Array2)
Izaberite opseg u našem slučaju koji se sastoji od četiri ćelije. Onda ponovo trči Čarobnjak za funkcijeklikom na ikonu "Umetni funkciju".

U kategoriji "Matematički"trčanje Funkcioneriizaberite ime "MUMNOZH" i kliknite na dugme "OK".

Aktivira se prozor argumenta funkcije. Mama. Na terenu "Massive1" unesite koordinate naše inverzne matrice. Da biste to uradili, kao i prošli put, postavite kursor u polje i sa levim tasterom miša držite pritisnutim, izaberite odgovarajuću tabelu sa kursorom. Slična akcija se vrši i za koordinate u polju "Massiv2", samo ovaj put odabiremo vrijednosti stupca. B. Nakon što se poduzmu gore navedene akcije, opet se ne žurimo da pritisnemo dugme "OK" ili ključ Enteri upišite kombinaciju tipki Ctrl + Shift + Enter.

Nakon ove akcije, korijeni jednadžbe pojavljuju se u prethodno odabranoj ćeliji: X1, X2, X3 i X4. Oni će biti organizovani u seriji. Dakle, možemo reći da smo riješili ovaj sistem. Da bi se verifikovala ispravnost rešenja, dovoljno je da se odgovarajući odgovori zamene originalnim sistemom ekspresije umesto odgovarajućih korena. Ako se održi jednakost, to znači da je prikazani sistem jednadžbi ispravno riješen.

Lekcija: Excel Reverse Matrix

Metoda 2: izbor parametara

Druga poznata metoda za rješavanje sustava jednadžbi u Excelu je korištenje metode odabira parametara. Suština ove metode je tražiti suprotno. To jest, na osnovu poznatog rezultata, tražimo nepoznati argument. Koristimo, na primjer, kvadratnu jednadžbu.

3x ^ 2 + 4x-132 = 0

Prihvati vrijednost x for equal 0. Izračunajte odgovarajuću vrijednost za nju f (x)primjenom sljedeće formule:
= 3 * x ^ 2 + 4 * x-132
Umesto vrednosti "X" zamenite adresu ćelije u kojoj se nalazi broj 0za nas x.

Idite na karticu "Data". Pritisnemo dugme "Analiza" šta ako. Ovo dugme se nalazi na vrpci u kutiji s alatima. "Rad sa podacima". Otvara se padajuća lista. Izaberite poziciju u njoj "Izbor parametara ...".

Počinje prozor za odabir parametara. Kao što vidite, sastoji se od tri polja. Na terenu "Instaliraj u ćeliju" navedite adresu ćelije u kojoj se nalazi formula f (x)izračunali smo malo ranije. Na terenu "Value" unesite broj "0". Na terenu "Promena vrednosti" navedite adresu ćelije u kojoj se nalazi vrijednost xprethodno usvojeni za nas 0. Nakon izvršavanja ovih akcija, kliknite na gumb "OK".

Nakon toga, Excel će izvršiti proračun koristeći izbor parametara. Ovo će obavestiti prikazani prozor sa informacijama. Trebalo bi da klikne na dugme "OK".

Rezultat izračunavanja korijena jednadžbe će biti u ćeliji koju smo dodijelili u polju "Promena vrednosti". U našem slučaju, kao što vidimo x će biti jednako 6.

Ovaj rezultat se također može provjeriti zamjenom ove vrijednosti u riješenom izrazu umjesto vrijednosti x.

Lekcija: Izbor parametara programa Excel

Metod 3: Kramer metoda

Sada ćemo pokušati riješiti sustav jednadžbi Kramer-ovom metodom. Na primjer, uzmimo isti sistem u kojem je korišten Metod 1:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Kao iu prvoj metodi, pravimo matricu A iz koeficijenata jednačina i tabele B vrijednosti koje slijede znak jednak.

Dalje radimo još četiri tabele. Svaki od njih je kopija matrice. A, samo ove kopije imaju jednu kolonu zamijenjenu tablicom B. U prvoj tabeli to je prva kolona, u drugoj tabeli je druga, i tako dalje.

Sada moramo da izračunamo determinante za sve ove tabele. Sistem jednadžbi će imati rješenja samo ako sve determinante imaju vrijednost različitu od nule. Za ponovno izračunavanje ove vrijednosti u Excelu postoji posebna funkcija - MEPRED. Sintaksa ove izjave je sljedeća:
= MEPRED (niz)
Dakle, kao funkcija MOBR, jedini argument je referenca na tablicu koja se obrađuje.
Dakle, izaberite ćeliju u kojoj će se prikazati determinanta prve matrice. Zatim kliknite na poznato dugme iz prethodnih metoda. "Umetni funkciju".

Aktivirani prozor Funkcioneri. Idi u kategoriju "Matematički" i među listom operatera, odaberite ime tamo MOPRED. Nakon toga kliknite na dugme "OK".

Počinje prozor argumenta funkcije. MEPRED. Kao što vidite, ima samo jedno polje - "Array". Unesite adresu prve transformisane matrice u ovo polje. Da biste to uradili, postavite kursor u polje, a zatim izaberite raspon matrica. Nakon toga kliknite na dugme "OK". Ova funkcija prikazuje rezultat u jednoj ćeliji, a ne u nizu, tako da za dobijanje izračuna ne morate da pribjegavate pritisku kombinacije tipki. Ctrl + Shift + Enter.

Funkcija izračunava rezultat i prikazuje ga u unaprijed odabranoj ćeliji. Kao što vidimo, u našem slučaju, determinanta je -740to jest, nije jednako nuli koja nam odgovara.

Slično tome, izračunavamo determinante za ostale tri tabele.

U završnoj fazi izračunavamo determinantu primarne matrice. Postupak je isti algoritam. Kao što vidimo, determinanta primarne tablice je također različita od nule, što znači da se matrica smatra ne-generiranom, tj. Sistem jednadžbi ima rješenja.

Sada je vrijeme da nađemo korijene jednadžbe. Korijen jednadžbe će biti jednak odnosu determinante odgovarajuće transformirane matrice na determinantu primarne tablice. Dakle, dijeleći sve četiri determinante transformisanih matrica brojem -148što je determinanta originalne tabele, dobijamo četiri korena. Kao što možete vidjeti, oni su jednaki vrijednostima 5, 14, 8 i 15. Dakle, oni su potpuno isti kao i koreni koje smo pronašli koristeći inverznu matricu u metoda 1što potvrđuje ispravnost rješenja sistema jednadžbi.

Metoda 4: Gaussova metoda

Sistem jednadžbi može se riješiti i primjenom Gaussove metode. Na primjer, uzmimo jednostavniji sistem jednadžbi iz tri nepoznanice:

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Opet smo konstantno zapisivali koeficijente u tabeli. Ai slobodni članovi nakon znaka jednak - do stola B. Ali ovaj put ćemo spojiti dva stola, jer će nam ovo trebati da radimo dalje. Važan uslov je u prvoj ćeliji matrice A vrijednost nije bila nula. U suprotnom, preuredite linije.

Kopirajte prvi red od dvije povezane matrice u liniju ispod (za jasnoću možete preskočiti jedan red). U prvoj ćeliji, koja se nalazi u redu čak i nižoj od prethodne, unesite sledeću formulu:
= B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)
Ako ste matrice razvrstali drugačije, onda će adrese ćelija formule imati različito značenje, ali ćete ih moći izračunati tako što ćete ih uporediti sa formulama i slikama koje su ovde date.
Kada unesete formulu, izaberite ceo red ćelija i pritisnite kombinaciju tastera Ctrl + Shift + Enter. Forma polja će biti primenjena na red i biće popunjena vrednostima. Tako smo od druge linije oduzeli prvi pomnožen odnosom prvih koeficijenata prva dva izraza sistema.

Nakon toga, kopirajte rezultirajući niz i zalijepite ga u red ispod.

Odaberite prve dvije linije nakon linije koja nedostaje. Pritisnemo dugme "Kopiraj"koji se nalazi na vrpci na kartici "Home".

Preskočimo liniju nakon zadnjeg unosa na listu. Izaberite prvu ćeliju u sledećem redu. Kliknite desnim dugmetom miša. U otvorenom kontekstnom meniju pomerite kursor na stavku "Posebno lijepljenje". Na dodatnoj listi koja radi, izaberite poziciju "Vrijednosti".

U sljedećem retku unesite formulu polja. Iz trećeg reda prethodne grupe podataka oduzima drugi red pomnožen odnosom drugog koeficijenta trećeg i drugog reda. U našem slučaju, formula će biti sljedeća:
= B13: E13- $ B $ 12: $ E $ 12 * (C13 / $ C $ 12)
Nakon unošenja formule, odaberite cijelu seriju i koristite tipku prečice Ctrl + Shift + Enter.

Sada je potrebno izvršiti obrnuto pokretanje prema Gaussovoj metodi. Preskočite tri linije od zadnjeg unosa. U četvrtom redu unesite formulu polja:
= B17: E17 / D17
Dakle, poslednji red koji smo izračunali podelimo na treći koeficijent. Nakon što upišete formulu, izaberite celu liniju i pritisnite kombinaciju tastera Ctrl + Shift + Enter.

Podižemo liniju i unosimo u nju sledeću formulu polja:
= (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16
Pritiskom na uobičajenu kombinaciju tastera primenjujemo formulu matrice.

Mi se uzdižemo za još jednu liniju iznad. U nju unosimo formulu niza u sljedećem obliku:
= (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15
Ponovo izaberite celu liniju i koristite prečicu Ctrl + Shift + Enter.

Sada ćemo pogledati brojeve koji su se pojavili u poslednjoj koloni poslednjeg bloka redova, koje smo izračunali ranije. To su ovi brojevi (4, 7 i 5) će biti korijeni ovog sistema jednadžbi. Ovo možete provjeriti zamjenom za vrijednosti. X1, X2 i X3 u izrazima.

Kao što možete vidjeti, u Excelu, sistem jednadžbi se može riješiti na više načina, od kojih svaki ima svoje prednosti i nedostatke. Ali sve ove metode mogu se podijeliti u dvije velike grupe: matrica i pomoću alata za odabir parametara. U nekim slučajevima matrične metode nisu uvijek pogodne za rješavanje problema. Konkretno, kada je determinanta matrice nula. U drugim slučajevima, korisnik je slobodan da odluči koju opciju smatra pogodnijom za sebe.